Question

如图，?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）求证：BF=DE；
（2）如果∠ABC=75°，∠DBC=30°，BC=2，求BD的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△CBF，进而得出答案；
（2）首先得出AE的长，进而得出DE，BD的长．

解答：（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
则∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°．
在△ADE和△CBF中，

∠AED=∠BFC ∠ADE=∠CBF AD=BC

，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴DE=BF．

（2）解：∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，
∴∠ABE=75°-30°=45°．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=75°-30°=45°
∵AD=BC=2，∠ADE=∠CBF=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=1，
DE=

4-1

=

3

．
在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°
故AE=BE=1．
则BD=

3

+1．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，得出△ADE≌△CBF是解题关键．