Question

18．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标；
（2）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入，可得b的值，继而可得抛物线解析式，也可确定B、C两点的坐标；
（2）根据线段长度，可确定$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，继而可判定三角形的相似．
（3）分别表示出AC、AQ、CQ的长度，再由等腰三角形的性质，分类讨论即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-$\frac{1}{4}$×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线解析式为 y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
在y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
整理得x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2，
则A（-2，0），B（8，0），
（2）可判定△AOC∽△COB成立．
理由如下：在△AOC与△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．
（3）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
∴可设点Q（3，t），则可求得：
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AQ=$\sqrt{{5}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，
CQ=$\sqrt{{3}^{2}+（t-4）^{2}}$=$\sqrt{{（t-4）}^{2}+9}$，
i）当AQ=CQ时，
则$\sqrt{25+{t}^{2}}$=$\sqrt{（t-4）^{2}+9}$，
两边平方得：25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）当AC=AQ时，
则$\sqrt{25+{t}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得：t²=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，
则$\sqrt{（t-4）^{2}+9}$=2$\sqrt{5}$，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±$\sqrt{11}$，
∴点Q坐标为：Q₂（3，4+$\sqrt{11}$），Q₃（3，4-$\sqrt{11}$）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（3，4+$\sqrt{11}$），Q₃（3，4-$\sqrt{11}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质及相似三角形的判定，解答本题的关键是分类讨论思想的运用．