Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长AB到点D，使AB=BD，连结CD，如果tan∠DCB=

1

3

，则sinA=（　　）

• A．

  3 13

  13

• B．

  13

  13

• C．

  4

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：过点B作BE∥AC，交CD于E，就可以得出∠CBE=90°，就有

BE

BC

=

1

3

，设BE=x，BC=3x，由BE∥AC就可以得出△DBE∽△DAC就可以表示出AC，由勾股定理就可以得出AB，从而求出结论．

解答：解：过点B作BE∥AC，交CD于E，
∴∠CBE=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE=90°．
∴tan∠DCB=

BE

BC

．
∵tan∠DCB=

1

3

，
∴

BE

BC

=

1

3

，
∴BC=3BE．
∵BE∥AC，
∴△DBE∽△DAC，
∴

BE

AC

=

BD

AD

．
∵AD=AB+BD，AB=BD，
∴AD=2BD．
∴

BE

AC

=

BD

2BD

=

1

2

，
∴AC=2BE．
设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

13

x．
∵sin∠A=

BC

AB

，
∴sin∠A=

3x

13 x

=

3 13

13

．
故选A，

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，三角函数的运用，解答时运用三角形函数和相似三角形的性质求解是关键．