Question

1．已知AB为⊙O的直径，CD、BC为⊙O的弦，CD∥AB，半径OD⊥BC于点E．
（1）如图1，求证：∠BOD=60°；
（2）如图2，点F在⊙O上（点F与点B不重合），连接CF，交直径AB于点H，过点B作BG⊥CF，垂足为点G，求证：BG=$\sqrt{3}$FG；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接EG，若GH=2FG，BH=$\sqrt{7}$，求线段EG的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ODB是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，连接OC、BF，在Rt△BFG中，根据∠BGF=90°，∠BFG=60°，tan∠BFG=$\frac{BG}{FG}$，即可解决问题．
（3）如图3中，连接AC、BF．设FG=a．则GH=2a，在Rt△BHG中，利用BH²=BG²+HG²列出方程求出a；，设AC=b，则BC=$\sqrt{3}$b，AB=2a，由△AHC∽△FHB，得$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AH}{FH}$，即$\frac{b}{2}$=$\frac{AH}{3}$，属于AH=$\frac{3}{2}$b，由AH+HB=AB列出方程求出b，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接BD．

∵OD⊥BC，
∴EC=EB，DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC，∠CDO=∠BDO，
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOB=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=∠DOB=60°．

（2）证明：如图2中，连接OC、BF．

由（1）可知，∠COD=∠DOB=60°，
∴∠COB=60°，
∴∠BFC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，
在Rt△BFG中，∵∠BGF=90°，∠BFG=60°，
tan∠BFG=$\frac{BG}{FG}$，
∴BG=FG•tan60°=$\sqrt{3}$FG．

（3）解：如图3中，连接AC、BF．设FG=a．则GH=2a．

∵BG⊥CF，
∴∠BGF=90°，
∵∠F=60°，
∴BG=$\sqrt{3}$FG=$\sqrt{3}$a，
在Rt△BHG中，∵BH²=BG²+HG²，
∴7=3a²+4a²，
∴a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴GH=2，FG=1，BF=2，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠F=60°，设AC=b，则BC=$\sqrt{3}$b，AB=2a，
∵∠A=∠F，∠AHC=∠FHB，
∴△AHC∽△FHB，
∴$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AH}{FH}$，
∴$\frac{b}{2}$=$\frac{AH}{3}$，
∴AH=$\frac{3}{2}$b，
∵AH+HB=AB，
∴$\frac{3}{2}$b+$\sqrt{7}$=2b，
∴b=2$\sqrt{7}$，
∴BC=2b=4$\sqrt{7}$，
在Rt△BCG中，∵CE=EB，
∴EG=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．