Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点，P异于A、D，Q是BC边上的一动点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）请你判断△APE与△PDF的关系，并说明理由；
（2）若Q是BC的中点，当P点运动到什么位置时，四边形PEQF为菱形？说明理由．

Answer 1

解：（1）△APE∽△PDF．
理由：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，
∴△APE∽△PDF；

（2）当P运动到AD中点时，四边形PEQF是菱形．
理由：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∵Q是BC的中点，
∴BQ=CQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABQ和△DCQ中，
，
∴△ABQ≌△DCQ（SAS），
∴AQ=DQ，
∴∠PAE=∠PDF，
∵∠PDF=∠APE，
∴∠PAE=∠APE，
∴PE=AE，
∵△APE∽△PDF，
∴AE：PF=AP：PD，
∵AP=PD，
∴AE=PF，
∴PE=PF，
∴四边形PEQF是菱形．
分析：（1）由PE∥DQ，PF∥AQ，根据平行线的性质即可得：∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，然后根据有两角对应相等的三角形相似，证得△APE∽△PDF；
（2）根据题意易证得△ABQ≌△DCQ，则可得AQ=DQ，根据等腰三角形的性质易得∠PAE=∠PDF，即可得△AEP是等腰三角形，又由△APE∽△PDF，根据相似三角形的对应边成比例，可证得PE=PF，又由四边形PEQF是平行四边形，即可证得四边形PEQF为菱形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．