Question

已知抛物线L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c均不为0）的顶点为P，与y轴的交点是M．我们称以M为顶点，且过点P的抛物线为抛物线L的“伴随抛物线”，直线PM为L的“伴随直线”．
（1）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式

y=-2x²+1

，伴随直线的解析式

y=-2x+1

；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是

y=x²-2x-3

；
（3）求抛物线y=ax²+bx+c（其中a、b、c均不为0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）先求出已知抛物线的顶点P的坐标和与y轴的交点M的坐标，然后设伴随抛物线的顶点式解析式，再把点P的坐标代入求解即可；利用待定系数法求一次函数解析式求伴随直线解析式；
（2）求出伴随抛物线的顶点坐标，即点M的坐标，再联立伴随抛物线与伴随直线求出点P的坐标，然后设抛物线的顶点式解析式，把点M代入求解即可；
（3）根据二次函数的一般形式写出顶点P的坐标，与y轴的交点M的坐标，再根据伴随抛物线的定义设出抛物线的顶点式解析式，把点P的坐标代入求解即可得到伴随抛物线解析式；再利用待定系数法求一次函数解析式求伴随直线的解析式即可．

解答：解：（1）∵y=2x²-4x+1=2（x²-1）-1，
∴顶点坐标为P（1，-1），
令x=0，则y=1，
所以，点M（0，1），
∴伴随抛物线的顶点是（0，1），经过点（1，-1），
设伴随抛物线的解析式为y=ax²+1，
则a+1=-1，
解得a=-2，
所以，伴随抛物线的解析式为y=-2x²+1，
设伴随直线为y=kx+b，
则

b=1 k+b=-1

，
解得

k=-2 b=1

，
所以，伴随直线解析式为y=-2x+1；

（2）y=-x²-3的顶点坐标为（0，-3），
所以，点M（0，-3），
联立

y=-x-3 y=-x2-3

，
解得

x1=0 y1=-3

（为点M），

x2=1 y2=-4

，
所以，点P（1，-4），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²-4，
则a（0-1）²-4=-3，
解得a=1，
所以，抛物线解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
即抛物线解析式为y=x²-2x-3；
故答案为：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；（2）y=x²-2x-3；

（3）伴随抛物线的顶点是（0，c），
∵设它的解析式为y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此抛物线过P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴随抛物线解析式为y=-ax²+c；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直线上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴随直线解析式为y=

b

2

x+c．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，读懂题目信息，理解伴随抛物线的定义，伴随直线的定义是解题的关键．