Question

6．如图，已知点E是?ABCD中BC边的中点，若∠ABE=∠BAE=60°，BC=4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；
（2）求四边形ABFC的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；进而得出AB=FC，即可得出四边形ABFC是平行四边形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四边形ABFC是矩形．
（4）由等边三角形的性质得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性质得出∠ACF=90°，得出AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$，即可得出四边形ABFC的面积=AC•CF=4$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠ABE=∠ECF．
又∵点E为BC的中点，∴BE=CE．
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FCE}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\\{∠AEB=∠FEC}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FCE（ASA）．
∴AB=CF．
又AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形．
∴AE=EF．
∵∠ABE=∠BAE=60°，
∴AE=BE，即AF=BC
∴四边形ABFC为矩形．
 （2）解：∵在矩形ABFC中，∠ABE=∠BAE=60°，BC=4
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=2．
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴四边形ABFC的周长=2（AB+AC）=2（2+2$\sqrt{3}$）=4+4$\sqrt{3}$．
S_{四边形ABFC}=2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出AB=CF是解题关键．