Question

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是直径，D是AC弧上的点，BD交AC于E，AB=5，sin∠CAB=

3

5

．
（1）设CE=m，

DE

BE

=k，试用含m的代数式表示k；
（2）当AD∥OC时，求m的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）先根据圆周角定理及直角三角形的性质求出AC及BC的长，再由CE=m可知AE=4-m，由∠DAE=∠DBC可得出DE=

m(4-m)

BE

，代入

DE

BE

=k即可用k、m表示出BE的长，再根据△ABC是直角三角形根据勾股定理即可用m表示出k；
（2）由AD∥OC得出∠DAC=∠ACO，根据∠DAC=∠DBC，可知∠ACO=∠DBC，由OA=OC可知∠BAC=∠ACO，故∠BAC=∠DBC
由相似三角形的判定定理得出△ACB∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=

3

5

．
∴BC=3，AC=4，
∵CE=m，
∴AE=4-m，
∵∠DAE=∠DBC，
∴

DE

AE

=

CE

BE

，即

DE

4-m

=

m

BE

，即DE=

m(4-m)

BE

，
∵

DE

BE

=k，
∴

m(4-m) BE

BE

=k，即BE²=

m(4-m)

k

，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，即3²+m²=

m(4-m)

k

，
∴k=

m(4-m)

9+m2

；

（2）∵AD∥OC
∴∠DAC=∠ACO
∵∠DAC=∠DBC
∴∠ACO=∠DBC
∵OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∴∠BAC=∠DBC
∵∠ACB=∠BCE
∴△ACB∽△BCE
∴

BC

CE

=

AC

BC

∴CE=BC×

BC

AC

∵BC=3 AC=4
∴CE=

9

4

，即m=

9

4

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．