Question

（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ACO=，点P在线段OC上，且PO、PC的长（PO<PC）是关于x的方程x2-12x+32=O的两根．

（1） 求P点坐标求

（2） 求AC、BC的长；

（3）在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）P（0，－4） （2）AC=15 BC=20 （3）y=－－4或y=－－4

【解析】

试题分析：（1）根据方程的解求出两根，然后跟PO＜PC求出点P的坐标；（2）根据双垂直得出∠ACO=∠ABC，然后根据∠ABC的正切值求出AC和BC的长度；（3）根据等腰梯形的性质求出点Q的坐标，然后计算PQ的函数解析式.

试题解析：（1）-12x+32=O．解得=4，=8 ∵ PO<PC．

∴ PO=4． ∴ P（O，-4）

（2）∵ ∠ACB=90°，CO⊥AB， ∴ ∠ACO=∠ABC． ∴ tan∠ABC=，

Rt△ABC中，设AC=3a，BC=4a 则AB=5a，

∵AB=5a=25 ∴ a=5 ∴ AC=15 BC=20

（3）存在，直线PQ解析式为：y=－－4或y=－－4.

考点：一次函数的应用、等腰梯形的性质、三角函数的应用.