Question

23、如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于N，求证：CM=MN．

Answer 1

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=CM，再根据角平分线的性质及三角形的外角性质可得∠CMB=2∠ACM，最后根据三角形内角和定理可得到∠MCN=∠N，由等角对等边即可得到结论．

解答：证明：∵CM是斜边AB上的中线，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM，
∵CN是Rt∠ACB的角平分线，
∴∠ACN=45°，
∴∠MCN=45°-∠ACM，
∵∠CMB是△AMC的外角，
∴∠CMB=2∠ACM，
∵MN⊥AB，
∴∠CMN=90°+2∠ACM，
∵∠CMN+∠N+∠MCN=180°，
∴∠N=45°-∠ACM，
∴∠MCN=∠N，
∴CM=MN．

点评：此题主要考查：（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．