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    如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．

    （1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
    （2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
    （3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）根据条件可以得出△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，就可以得出PA=PF，PB=PE，由点E平分线段PF就可以得出EF=PE=PB，可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值；
    （2）由（1）的结论可以得出AP-PB=2，由AP+PB=4，以及EP-PF=2，PB-AP=2，解一个二元一次方程组解可以求出结论；
    （3）如图2，当CE与点A在同一直线上△AEP∽△ABC，设AP=x，根据相似三角形的性质就可以求出结论；若CE与QE在同一直线上，如图3，由AP=BP可以求出结论．
    解答：解：（1）将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，
    ∴△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，
    ∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
    ∵点E平分线段PF，
    ∴EF=EP=PB．
    ∵AB=4，
    ∴PB=，AP=．
    ∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180．
    ∴∠QPA+∠CPB=90°．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠A=∠B=90°，
    ∴∠CPB+∠PCB=90°，
    ∴∠QPA=∠PCB，
    ∴△QAP∽△PBC，
    ∴，
    ∴
    ∴QA=； 

    （2）由题意，得
    EP-PF=2．
    ∴PB-AP=2，
    ∵AP+PB=4，
    ∴2BP=6，
    ∴BP=3，
    ∴AP=1．
    由题意，得
    PF-EP=2．
    ∴AP-PE=2，
    ∵AP+PB=4，
    ∴2AP=6，
    ∴AP=3，
    故AP的长为1或3；

    （3）①若CE与点A在同一直线上，则
    △AEP∽△ABC
    ∴，
    设AP=x，
    ∴=
    ∴x=5-
    ②如图3，若CE与QE在同一直线上，则
    ∴EP=AP=BP，
    ∴2AP=4，
    ∴AP=2．
    点评：本题是一道四边形综合试题，考查了轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时合理运用相似三角形的性质是解答本题的关键．
    练习册系列答案
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    24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底等高的三角形面积相等

    规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
    （1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
    （2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．
    （3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

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    （2013•济南）（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．
    求证：∠A=∠D．
    （2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．

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    （2013•河北一模）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（　　）

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    如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．

    （1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线．
    （2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线 l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）．
    （3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
    （1）尝试证明：
    等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=
    12
    AB    ，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．
    （2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
    ①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
    ②如图3所示，?ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．

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