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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B坐标为(4,t)(t>0),二次函数y=x2+bx(b<0)的图象经过点B,顶点为点D.

(1)当t=12时,顶点D到x轴的距离等于
(2)点E是二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合),求OEEA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;
(3)矩形OABC的对角线OB、AC交于点F,直线l平行于x轴,交二次函数y=x2+bx(b<0)的图象于点M、N,连接DM、DN,当△DMN≌△FOC时,求t的值.

【答案】
(1)
(2)解:将y=0代入抛物线的解析式得:x2+bx=0,解得x=0或x=﹣b,

∵OA=4,

∴AE=4﹣(﹣b)=4+b.

∴OEAE=﹣b(4+b)=﹣b2﹣4b=﹣(b+2)2+4,

∴OEAE的最大值为4,此时b的值为﹣2,

∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x.


(3)解:过D作DG⊥MN,垂足为G,过点F作FH⊥CO,垂足为H.

∵△DMN≌△FOC,

∴MN=CO=t,DG=FH=2.

∵D(﹣ ,﹣ ),

∴N(﹣ + ,﹣ +2),即( ).

把点N和坐标代入抛物线的解析式得: =( 2+b( ),

解得:t=±2

∵t>0,

∴t=2


【解析】(1)当t=12时,B(4,12).

将点B的坐标代入抛物线的解析式得:16+4b=12,解得:b=﹣1,

∴抛物线的解析式y=x2﹣x.

∴y=(x﹣ 2

∴D( ).

∴顶点D与x轴的距离为

所以答案是:

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C.
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