Question

如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y，x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形。

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

Answer 1

（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），\

，∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x²+bx+c，可得，解得：，

故该二次函数解析式为：y=x²﹣x﹣3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．

②∵S_{四边形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=×8×3=12，

∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，…

当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，

解得：h=（5﹣t），，∴S_△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t²+5t）=﹣（t﹣）²+，

∴当t=时，S_△APQ达到最大值，此时S_{四边形PDCQ}=12﹣=

故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．