Question

如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=6，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动．有一个点到达终点时两个点同时停止运动．问△PDQ能否为直角三角形？若能，请求出相应的时间t的值．

Answer 1

解：能．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=16，AD=BC=6，
根据题意得：AP=3t，CQ=2t，
∴DQ=CD-CQ=16-2t，
过点Q作QM⊥AB于点M，
∴四边形BCQM是矩形，
∴QM=BC=6，BM=CQ=2t，
∴PM=AB-AP-BM=16-5t，
①若∠DPQ=90°，
∴∠APD+∠MPQ=90°，
∵∠APD=∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠MPQ，
∵∠A=∠PMQ=90°，
∴△APD∽△MQP，
∴，
∴，
解得：t=2或t=；
②若∠DOP=90°，则有DQ²=DP²-PQ²，
∴（16-2t）²=6²+（3t）²-6²，
解得：t=，
综上所述，当t=2或或时，△PDQ为直角三角形．
分析：由题意可得：AP=3t，CQ=2t，即可得DQ=CD-CQ=16-2t，然后过点Q作QM⊥AB于点M，然后分别从①若∠DPQ=90°，易得△APD∽△MQP，②若∠DOP=90°，则有DQ²=DP²-PQ²，去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、方程思想以及分类讨论思想的应用．