Question

在Rt△OAB中，∠AOB=90°，已知AB=，tan∠OAB=3，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°得到△ODC，如图1建立坐标系．
（1）写出A、B、C三点坐标（不必写过程）；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，如图2，M是抛物线的顶点，试判定△MCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的抛物线上，且在第一象限中，是否存在点P，使四边形BDCP的面积W最大？若存在，请求出这个最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）Rt△OAB中，AB=，tan∠OAB=3，
∴OA=1，OB=3，即：A（-1，0）、B（0，3）；
∵△OCD是由△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°所得
∴OC=OB=3，即：C（3，0）；
综上，A（-1，0）、B（0，3）、C（3，0）．

（2）设抛物线的对称轴与线段CD交于点F、与x轴交于点G，过点D作DE⊥MG于E，如右图；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点B的坐标，得：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-（x+1）²+4，即 M（1，4）；
由题意知：OD=OA=1，则 D（0，1）；
∴E（1，1）、G（1，0）；
∴DE=1，ME=4-1=3
∴tan∠DME===tan∠DCO，即：∠DME=∠DCO，
又∵∠MFD=∠CFG，
∴∠MDF=∠FGC=90°，即△MCD是直角三角形．

（3）过点P作PN⊥x轴于N，如右图；
设点P（x，-x²+2x+3），则：PN=-x²+2x+3、ON=x、CN=3-x；
由图知：S_{四边形BPCD}=S_梯形BPNO+S_△PNC-S_△OCD，则有：
W=×[3+（-x²+2x+3）]×x+×（-x²+2x+3）×（3-x）-×1×3
=-x²+x+3
=-（x-）²+
∴存在符合条件的点P，且W的最大值为：．
分析：（1）在Rt△OAB中，已知AB长和∠OAB的正切值，通过解直角三角形能求出OA、OB的长，即可确定A、B的坐标．而△OCD是由△OAB旋转所得，因此根据OC=OB即可确定点C的坐标．
（2）首先利用待定系数法确定抛物线的解析式，进而能求得点M的坐标．然后根据M、D、C三点的坐标，找出图中相等的角，利用角之间的关系来判断△MCD的形状．
（3）根据抛物线的解析式，先设出点P的坐标，过P作x轴的垂线，那么四边形BDCP的面积可由五边形的面积（梯形+三角形）减去△OCD得到面积求得，根据所得函数的性质，即可判断出是否存在W的最大值．
点评：题目考查了图形的旋转、函数解析式的确定、特殊三角形的判定以及图形面积的解法等综合知识，在解题过程中，要注意数形结合思想的合理应用，难度适中．