Question

11．抛物线y=ax²+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上且位于x轴上方．
（1）如图1，若P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），B（1，0）
①求抛物线的解析式；
②如图2，连接PC，PB，求四边形COBP的面积．
③若点D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图3，已知直线PA，PB与y轴分别交于F，E两点，当点P运动时，$\frac{OF+OE}{OC}$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；
②求出A、B、C的坐标，根据S_{四边形COPB}=S_△POC+S_△POB计算即可．
③根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），则at²+c=0，c=-at²．由PQ∥OF，得 $\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，推出OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²，同理OE=-amt+at²．由此可得OE+OF=2at²=-2c=2OC，即可解决问题．

解答 解：（1）①将P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），B（1，0）代入y=ax²+c，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a+c=\frac{3}{4}}\\{a+c=0}\end{array}\right.$，解得-1$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+1，
②对于抛物线y=-x²+1，令x=0得y=1，令y=0得x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，1），
∴S_{四边形COPB}=S_△POC+S_△POB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{8}$．
③如图1，当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，
∴D与P关于y轴对称，
∵P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
当点D′在OP右侧时，延长PD′交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH=$\frac{1}{2}$，PH=$\frac{3}{4}$
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
设OG=x，则PG=x，HG=x-$\frac{1}{2}$．
在Rt△PGH中，由x²=（x-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3}{4}$）²得x=$\frac{13}{16}$．
∴点G（$\frac{13}{16}$，0）．
∴直线PG的解析式为y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{39}{20}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-\frac{12}{5}x+\frac{39}{20}}\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{19}{10}}\\{y=-\frac{261}{100}}\end{array}\right.$．
∵P（1，-3），
∴D（ $\frac{19}{10}$，-$\frac{261}{100}$）．
∴点D的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（ $\frac{19}{10}$，-$\frac{261}{100}$）．

（2）点P运动时，$\frac{OE+OF}{OC}$是定值，定值为2，理由如下，
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），则at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²．
同理OE=-amt+at²．
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC．
∴$\frac{OE+OF}{OC}$=2．

点评 本题考查了二次函数综合题、二元二次方程组、平行线分线段成比例定理、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．