Question

如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC=4：1，则AB的长是

1. A.
   2
2. B.
   8
3. C.
   16
4. D.
   

Answer 1

B
分析：连接OA，由直径DC与弦AB垂直，根据垂径定理得到M为AB的中点，要求AB只需求出AM即可，AM放在直角三角形AOM中，先由DC的长及DM与MC的比值，求出DM与MC的长，且求出半径OD及OA的长，进而利用DM-OD求出OM的长，在直角三角形AOM中，由OA和OM的长，利用勾股定理求出AM，最后利用AB=2AM即可求出AB的长．
解答：连接OA，如图，
∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，
∴M为AB中点，即AM=BM=AB，
又∵CD=10，DM：MC=4：1，
∴DM=DC=8，MC=DC=2，且OA=OD=5，
∴OM=DM-OD=8-5=3，
在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA²=OM²+AM²，
即AM==4，
则AB=2AM=8．
故选B．
点评：此题考查了垂径定理，比例的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平方弦，且由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，故连接OA是本题的突破点．