Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，AE=10，cosA=$\frac{5}{13}$．
（1）求AD，CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得AD、CD的长；
（2）根据题意和角平分线的性质、勾股定理和锐角三角函数可以解答本题．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，AE=10，cosA=$\frac{5}{13}$，
∴cosA=$\frac{AE}{AD}=\frac{5}{13}$，
解得，AD=26，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=24，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
∴CD=24，
即AD=26，CD=24；
（2）∵AD=26，CD=24，cosA=$\frac{5}{13}$，
∴AC=AD+CD=50，
∴AB=130，
∵AE=10，
∴BE=140，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴BC=BE=140，
∵CD=24，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}=\frac{24}{140}=\frac{6}{35}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问需要的条件．