Question

已知Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠A，交BC边于点D．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；连接DE．
（2）在（1）所作的图形中证明：△DHE≌△AHF．

Answer 1

（1）解：如图所示；

（2）证明：连接ED，
∵AD平分∠A，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AH=EH，EA=ED，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵在△DHE和△AHF中，
，
∴△DHE≌△AHF（ASA）．
分析：（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）首先根据线段垂直平分线的性质可得AH=EH，EA=ED，进而得到∠BAD=∠ADE，再根据角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD，进而得到∠BAD=∠CAD，再加上对顶角∠AHF=∠DHE，可利用ASA证明△DHE≌△AHF．
点评：此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定与线段垂直平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS．