Question

4．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点D作⊙O的切线与AB的延长线交于点C，若∠CAD=30°，求证：AD=CD．

Answer 1

分析 连接OD，如图，先利用OA=OD得到∠ODA=∠OAD=30°，则利用三角形外角性质得∠COD=60°，再根据切线的性质得∠ODC=90°，所以∠C=30°，则可判断∠A=∠C，然后根据等腰三角形的判定方法可得AD=CD．

解答 证明：连接OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠COD=∠OAD+∠ODA=60°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠C=30°，
∴∠A=∠C，
∴AD=CD．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．