Question

【题目】如图，在中， ，点在上，点在的内部， 平分，且.

（1）求证： ；

（2）求证：点是线段的中点.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】试题分析：（1）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BD于N，根据角平分线的性质可得EM＝EN，再利用“HL”证明RtΔECM≌RtΔEBN，得出∠MCE＝∠NBE，再根据等腰三角形的性质得出∠ECB＝∠EBC，证出∠DCB＝∠DBC，最后根据等角对等边即可得出结论；

（2）根据等角的余角相等得出∠A＝∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD，又CD＝BD，等量代换即可得出结论．

试题解析：

证明：（1）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BD于N，

∵ DE平分∠BDC，∴ EM＝EN.

在RtΔECM和RtΔEBN中，

∴ RtΔECM≌RtΔEBN.

∴ ∠MCE＝∠NBE.

又∵ BE＝CE，∴ ∠ECB＝∠EBC.

∴ ∠DCB＝∠DBC.

∴ BD＝CD.

（2）∵ △ABC中，∠ABC＝90°，

∴ ∠DCB＋∠A＝90°，∠DBC＋∠ABD＝90°.

∵∠DCB＝∠DBC，

∴ ∠A＝∠ABD.

∴ AD＝BD.

又∵ BD＝CD.

∴ AD＝CD，即：点D是线段AC的中点．