Question

如图所示，梯形AOCD中，∠AOC=90°，AD=9，OC=10，AO=4在线段OC上任取一点N（不与O、C重合），连接DN，作NE⊥DN，与直线AO交于点E．
（1）当CN=2时，求OE；
（2）若CN=t，OE=s，求s关于自变量t的函数关系式；
（3）探索与研究：如图2所示，分别以AO、OC所在的直线为y轴与x轴，O为原点，建立如图所示的直角坐标系，动点M从点O沿线段OC向C点运动，动点N从点C沿线段CO向点O同时等速运动，设现有一点F（x，y）满足MF⊥MN，NF⊥ND，试用含x的式子表示y．

Answer 1

分析：由直角三角形的特性确定两个相等的角方便之间的关系转换，求s关于自变量t的函数关系式时要分清①0＜t＜1，②t＞1两种情况．

解答：解：（1）如图所示，作DF⊥OC于F，
由题意知，CN=2，AD=9，OC=10．
∵AOCD是梯形且∠AOC=90°，
∴OF=AD=9，CF=OC-OF=1，NF=CN-CF=1，DF=OA=4．
∴在Rt△DFN中，tan∠DNF=

DF

NF

=

4

1

=4．
又∵NE⊥DN，∠AOC=90°，
∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4．
∴OE=

ON

tan∠OEN

=

8

4

=2；

（2）如图所示：
①当0＜t＜1时由（1）知CF=1，所以此时N点在F点右侧，E点在y轴负半轴
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF=

DF

FN

=

4

1-t

=tan∠OEN=

OF

OE

=

10-t

s

，
 即

4

1-t

=

10-t

s

，
∴s=

t2-11t+10

4

．
②当t＞1时，如图所示N点在F点左侧，E点则在y轴正半轴．
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF=

DN

FN

=tan∠OEN=

OF

OE

，
即

10-t

s

=

4

t-1

，
∴S=

-t2+11t-10

4

；

（3）如图所示：由图知点F在第四象限，
∵MF⊥MN，NF⊥ND，点F（x，y），M点、N点同时等速运动，
∴CN=OM=x．
又∵∠MFN+∠MNF=∠MNF+∠DNM=90°，
∴∠MFN=∠DNM，
即：tan∠MFN=

MN

MF

=

10-2x

|y|

=tan∠DNM=

OA

1-x

=

4

1-x

，y＜0，
∴y=-

1

2

x2+3x-

5

2

．

点评：此题考查学生结合变化的图象求函数关系式的能力，主要运用直角三角形的特殊性质和正切性质求解．