Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于点F，若BF=AC
（1）求∠BAD的度数．
（2）若BD=12，FD=9，求EC的长度．

Answer 1

解（1）∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90，
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等），
∴∠EAF=∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF，
，
∴△ADC≌△BDF，
∴BD=AD，
即∠BAD=∠ABC=45°
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴DC=DF，
∵FD=9，
∴DC=FD=9，
∵BC=BD+DC=21，
∴BF===15，
∵∠DBF=∠EBC，∠FDB=∠BEC=90°，
∴△BDF∽△BEC，
∴，
∴EC===．
分析：（1）根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°；
（2）由三角形全等得DC=FD=9，BC=BD+DC=21，根据勾股定理计算出BF的长，找对应角相等，得到△BDF∽△BEC，根据相似找相关比例线段，从而求出EC的长．
点评：此题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定和勾股定理的运用，是中考常见题型，难度中等．