Question

14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=$\frac{1}{x}$（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=$\frac{k^2}{x}$（x＞0，k＞0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′且点O、A′、C′在同一条直线上，连接CC′，交x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于10．

Answer 1

分析 过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，$\frac{1}{a}$），C（b，$\frac{{k}^{2}}{b}$），由△OAD∽△BCO，得到$\frac{{S}_{△ADO}}{{S}_{△BCO}}$=（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S_△ADO=$\frac{1}{2}$，S_△BOC=$\frac{{k}^{2}}{2}$，求出k²=（$\frac{b}{a}$）²，得到k=-$\frac{b}{a}$，根据S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{a}$）•b+$\frac{{k}^{2}}{2}$=6，列出关于k的方程k²+k-12=0，求得k=3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S_△OBC+S_△OBC′+S_△OAA′=10．

解答 解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y=$\frac{1}{x}$（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，$\frac{1}{a}$），
∵点C在函数y=$\frac{{k}^{2}}{x}$（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，$\frac{{k}^{2}}{b}$），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△BCO，
∴$\frac{{S}_{△ADO}}{{S}_{△BCO}}$=（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
∵S_△ADO=$\frac{1}{2}$，S_△BOC=$\frac{{k}^{2}}{2}$，
∴k²=（$\frac{b}{a}$）²，
∵S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{a}$）•b+$\frac{{k}^{2}}{2}$=6，
∴k²-$\frac{b}{a}$=12，
①当k＞0时，
k=-$\frac{b}{a}$，
∴k²+k-12=0，
解得：k=3，k=-4（不合题意舍去），
②当k＜0时，
k=$\frac{b}{a}$，
∴k²+k-12=0，
解得：k=-3，k=4（不合题意舍去），
∴k²=9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S_△OBC′=S_△OBC=$\frac{{k}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∵S_△OAA′=2S_△OAD=1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S_△OBC+S_△OBC′+S_△OAA′=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键．