Question

有一四边形ABCD，∠ABC=105?，△BCD是等边三角形，BC=10，△ABD是等腰三角形．求△ABD的面积．

Answer 1

分析：根据已知画出图形，利用等边三角形的性质以及等腰三角形性质，分别分析当AD=BD时以及当AD=AB时的值，即可得出答案．

解答：解：如图1，∵∠ABC=105?，△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=105°-60°=45°，
∵△ABD是等腰三角形，当AD=BD，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，
∵BC=10，
∴BD=AD=10，
∴△ABD的面积为：

1

2

AD×BD=

1

2

×10×10=50．
如图2，∵∠ABC=105?，△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=105°-60°=45°，
∵△ABD是等腰三角形，当AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴∠A=90°，
∵BC=10，
∴BD=AD=10，
∴2AB²=BD²=100，
∴AB²=50，
∴△ABD的面积为：

1

2

AD×BD=

1

2

AB²=

1

2

×50=25．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰直角三角形性质，根据已知的画出不同图形进而分类讨论得出是解题关键．