Question

如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC=3DE，把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接AG．有以下四个结论：
①∠GAE=45°；②BG+DE=GE；③点G是BC的中点；④连接FC，则FC∥AG．
其中正确的结论序号是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,正方形的性质

专题：常规题型

分析：先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=

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∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，C=BC-BG=6-x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG．

解答：解：∵正方形ABCD的边长为6，DC=3DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB=AF AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=

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2

∠BAD=45°，所以①正确；
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以②正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC-BG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6-x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，CG=6-3=3，
∴BG=CG，即点G为BC的中点，所以③正确；
∴GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确．
故答案为①②③④．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．