Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若此抛物线过点A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此抛物线上有一点P，使它到BC的距离为9

2

，求P点坐标；
（Ⅳ）若a+b+c=0，且x₁=0时，对应的y₁＞0；x₂=1时，对应的y₂＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；
（Ⅲ）把点A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线y=3ax²+2bx+c，求出a，b，c的值，进而得到抛物线的解析式，根据点BC与x轴重合可知直线l的解析式为y=±9

2

，再与抛物线的解析式联立即可得出点P的坐标；         
（Ⅳ）抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax²+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax²+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=b=1，c=-1时，抛物线为y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x²+2x+c，且与x轴有公共点．
对于方程3x²+2x+c=0，判别式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

，
①当c=

1

3

时，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x1=x2=-

1

3

．
此时抛物线为y=3x²+2x+

1

3

=0与x轴只有一个公共点（-

1

3

，0），
②当c＜

1

3

时，x₁=-1时，y₁=3-2+c=1+c，x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-

1

3

，
应有

y 1≤0 y 2＞0

，即

1+c≤0 5+c＞0

解得-5＜c≤-1．
综上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．    

（Ⅲ）把点A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线y=3ax²+2bx+c得：

3=c 0=3a+2b+c 0=27a+6b+c

，
解得：

a= 1 3 b=-2 c=3

，
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3，
∵直线BC与x轴重合，l到BC距离为9

2

的直线为y=9

2

或y=-9

2

（舍去），
所以可求得点P坐标为：（1+

1+9 2

，9

2

）；
（Ⅳ）对于二次函数y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0时，y₁=c＞0；x₂=1时，y₂=3a+2b+c＞0，
又a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
于是2a+b＞0．而b=-a-c，∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0． 
∵关于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．
又该抛物线的对称轴x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0时，y₁＞0；x₂=1时，y₂＞0，观察图象，
可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数的问题，以及二次函数图象与一次函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征来解决问题．