Question

已知二次函数C₁：y=x²+2ax+2x-a+1，且a变化时，二次函数C₁的图象顶点M总在抛物线C₂上．
（1）用含有a的式子表示顶点M的坐标，并求出抛物线C₂的函数解析式；
（2）若抛物线C₂的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，且满足EF=

1

2

AC，求点E的坐标；
（3）若P是抛物线C₂对称轴上使△ABC的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y不平行的直线l交抛物线于M、N两点，当y轴平分MN时，求直线l的函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用配方法将y=x²+2ax+2x-a+1改写成y=（x+a+1）²-a²-3a，求出顶点M的坐标是（-a-1，-a²-3a）；求抛物线C₂的函数解析式有两种方法．方法一：分别取a=0，-1，1，得到三个顶点坐标是M₁（-1，0）、M₂（0，2）、M₃（-2，-4），利用待定系数法可求出抛物线C₂的函数解析式；方法二：令-a-1=x，将a=-x-1代入y=-a²-3a，即可求出抛物线C₂的函数解析式；
（2）分两种情况：①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．由△CAO∽△EFH，根据相似三角形对应边成比例得出EH=

1

2

CO=1，解方程-x²+x+2=1求出x的值，得到E点坐标；②当点E在x轴下方时，同理可求得E点坐标；
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．连接BC交对称轴于P点，因为点A、B关于x=

1

2

对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小．运用待定系数法求出直线BC解析式为y=-x+2，将x=

1

2

代入，求出y=

3

2

，得到P（

1

2

，

3

2

）．再令经过点P（

1

2

，

3

2

）的直线l为y=kx-

1

2

k+

3

2

，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx-

1

2

k+

3

2

与y=-x²+x+2，联立化简得出x²+（k-1）x-

1

2

（k+1）=0，当x₁+x₂=1-k=0时，y轴平分MN，由此求出k=1，得到直线l：y=x+1．

解答：解：（1）∵y=x²+2ax+2x-a+1=x²+（2a+2）x-a+1=（x+a+1）²-a²-3a，
∴顶点M的坐标是（-a-1，-a²-3a）．
方法一：分别取a=0，-1，1，得到三个顶点坐标是M₁（-1，0）、M₂（0，2）、M₃（-2，-4），
过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x²+x+2．
将顶点坐标M（-a-1，-a²-3a）代入y=-x²+x+2的左右两边，
得左边=-a²-3a，右边=-（-a-1）²+（-a-1）+2=-a²-3a，
∴左边=右边．
即无论a取何值，顶点M都在抛物线y=-x²+x+2上．
即所求抛物线的函数表达式是C₂：y=-x²+x+2；
方法二：令-a-1=x，将a=-x-1代入y=-a²-3a，得y=-（-x-1）²-3（-x-1）=-x²+x+2，
即所求抛物线的函数表达式是C₂：y=-x²+x+2；

（2）分两种情况：
①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．
∵AC∥EF，
∴△CAO∽△EFH，

CO

EH

=

AC

EF

=2，
∴EH=

1

2

CO=

1

2

×2=1，即E点纵坐标为1，
当y=1时，-x²+x+2=1，
解得x=

5 +1

2

或x

1- 5

2

（舍去），
∴E（

1+ 5

2

，1）；
②当点E在x轴下方时，同理可求得E（

1+ 13

2

，-1）；
综上所述，满足条件的E点坐标有两个：E（

1+ 5

2

，1）或（

1+ 13

2

，-1）；

（3）连接BC交对称轴于P点．
∵点A、B关于x=

1

2

对称，
∴PB=PA，
∴AP+CP=BP+CP=BC最小，△ACP的周长=AC+AP+CP=

10

+BC最小．
∵B（2，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y=-x+2，
∴当x=

1

2

时，y=-

1

2

+2=

3

2

，
∴P（

1

2

，

3

2

）．
令经过点P（

1

2

，

3

2

）的直线l为y=kx-

1

2

k+

3

2

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵y=kx-

1

2

k+

3

2

，y=-x²+x+2，
联立化简得：x²+（k-1）x-

1

2

（k+1）=0，
∴当x₁+x₂=1-k=0时，y轴平分MN，
解得k=1，
∴直线l的函数解析式为y=x+1．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点坐标求法，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．