Question

4．如图，两个边长为1的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E旋转，则它们重叠部分的面积为S=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 EF交AB于M，EH交BC于N，连结BE、CE，如图，根据正方形的性质得EB=EC，∠BEC=90°，∠EBA=∠ECB=45°，再利用等角的余角相等得到∠BEM=∠CEN，则可根据“ASA”判断△BEM≌△CEN，即S_△BEM=S_△CEN，原式得到S_{四边形EMBC}=S_△CEN+S_△BEN=S_△BEC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，然后根据正方形的面积公式求解．

解答 解：EF交AB于M，EH交BC于N，连结BE、CE，如图，
∵点E为正方形ABCD的中心，
∴EB=EC，∠BEC=90°，∠EBA=∠ECB=45°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
在△BEM和△CEN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠ECN}\\{EB=EC}\\{∠BEM=∠CEN}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△CEN，
∴S_△BEM=S_△CEN，
∴S_{四边形EMBC}=S_△BEM+S_△BEN=S_△CEN+S_△BEN=S_△BEC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$．
故答案为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．