如图.在平面直角坐标系中.Rt△ABC的三个顶点为A.以A为顶点的抛物线过点C.且与x轴另一交点为D．(1)求抛物线解析式,(2)动点P从A出发.沿线段AC向终点C运动.过点P作PG∥AB交抛物线于点G.求△ACG面积的最大值.并求出此时P点坐标,条件下.当△ACG面积最大时.抛物线上式否存在点Q.使得∠GAP+∠QDO=90°?若存在.求Q点坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点为A（1，4），（1，0），（3，0），以A为顶点的抛物线过点C，且与x轴另一交点为D．
（1）求抛物线解析式；
（2）动点P从A出发，沿线段AC向终点C运动，过点P作PG∥AB交抛物线于点G，求△ACG面积的最大值，并求出此时P点坐标；
（3）在（2）条件下，当△ACG面积最大时，抛物线上式否存在点Q，使得∠GAP+∠QDO=90°？若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）已知定点坐标以及抛物线上的点（3，0），利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）首先利用待定系数法求得AC的解析式，设P的横坐标是m，利用m可以表示出△ACG的面积，利用函数的性质求得P点坐标；
（3）首先求得G的坐标，然后作GH⊥AC于点H，求得AH和GH的长度，然后求得OD的长，根据相似三角形的性质即可解答．

解答解：（1）设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+4，
把（3，0）代入得：4a+4=0，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）设AC的解析式是y=kx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
则AC的解析式是y=-2x+6．
设P的坐标是（m，-2m+6），
则S=$\frac{1}{2}$×2×（-m²+2m+3+2m-6）=-m²+4m-3，
则当m=2时，S有最大值．
则当x=2时，y=-4+6=2，则P的坐标是（2，2）；
（3）把x=2代入y=-x²+2x+3得y=-4+4+3=3，
则G的坐标是（2，3）．
设经过G且垂直于AC的直线的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+c，把（2，3）代入得1+c=3，
解得：c=2，
则经过G且垂直于AC的直线HG的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
则H的坐标是（$\frac{8}{5}$，$\frac{14}{5}$）．
则QH=$\sqrt{（2-\frac{8}{5}）^{2}+（3-\frac{14}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AH=$\sqrt{（\frac{8}{5}-1）^{2}+（4-\frac{14}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
则AH：HQ=3：1．
C（3，0）关于x=1的对称点是（-1，0），则与x轴另一交点D的坐标是（-1，），则OD=1，
抛物线y=-x²+2x+3中，当x=0时，y=3，即抛物线与y轴的交点是（0，3）．OE=3，
则OE：OD=3：1，
则当Q（0，3）时，△ODE∽△HQA，此时∠GAP+∠QDO=90°；
E关于x轴的对称点E′是（0，-3）．
设直线DE′的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
则直线DE′的解析式是y=-3x-3．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
则Q的坐标是（6，-2）．
总之，Q的坐标是（0，3）或（6，-2）．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式以及相似三角形的判定与性质，注意到：当Q是抛物线与y轴的交点时满足∠GAP+∠QDO=90°是关键．

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C．

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