Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC．
（1）若AD=3，CG=2，求CD；
（2）若CF=AD+BF，求证：EF=CD．

Answer 1

（1）解：连BD，如图，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG=3，AB=DG，
又∵BH⊥DC，CH=DH，
∴△BDC为等腰三角形，
∴BD=BG+GC=3+2=5，
在Rt△ABD中，AB===4，
∴DG=4，
在Rt△DGC中，
∴DC===2．

（2）证明：∵CF=AD+BF，
∴CF=BG+BF，
∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF，
∵EF∥DC，
∴∠BFE=∠GCD，
∴Rt△BEF∽Rt△GDC，
∴EF：DC=BF：GC=1：2，
∴EF=DC．
分析：（1）由AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC得到四边形ABGD为矩形，利用矩形的性质有AD=BG=3，AB=DG，而BH⊥DC，CH=DH，根据等腰三角形的判定得到△BDC为等腰三角形，即有BD=BG+GC=3+2=5，先在Rt△ABD中求出AB，然后在Rt△DGC中求出DC；
（2）由CF=AD+BF，AD=BG，经过线段代换易得GC=2BF，再由EF∥DC得到∠BFE=∠GCD，根据三角形相似的判定易得Rt△BEF∽Rt△GDC，利用相似比即可得到结论．
点评：本题考查了直角梯形的性质：有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角．也考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定与性质．