Question

14．已知一次函数y=2x-k与反比例函数y=$\frac{k+2}{x}$的图象相交于A和B两点，如果有一个交点A的横坐标为3，
（1）求k的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（4）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标；
（3）根据图象求得即可；
（4）先求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积．

解答 解：（1）由已知x=3，2×3-k=$\frac{k+2}{3}$，
解得k=4；

（2）当k=4时，一次函数为y=2x-4，反比例函数为y=$\frac{6}{x}$，
由2x-4=$\frac{6}{x}$，
解得x₁=3，x₂=-1，
故A（3，2），B（-1，-6）；

（3）由图象可知，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是-1＜x＜0或x＞3；

（4）令直线AB解析式y=2x-4中y=0，
解得x=2，
∴直线AB与x轴交点坐标为C（2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×|-6|=8．

点评 此题既考查了用待定系数法确定函数的解析式，也考查了利用利用方程组来确定两个函数图象交点的坐标，也考查了函数与不等式的关系，最后求不规则图形的面积．