Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．

（1）求证：PA⊥PB；

（2）若点A（9，0），则点B的坐标为　 　；

（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；

（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（0，﹣3）；（3）6；（4）6．

【解析】

（1）过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；

（2）求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可；

（3）根据全等三角形对应边相等可得PE＝PF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；

（4）同（3）的思路求解即可．

（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

∵P（3，3），

∴PE＝PF＝3，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），

∴∠APE＝∠BPF，

∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，

∴PA⊥PB；

（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，

∴PF＝PE，

∴四边形OEPF是正方形，

∴OE＝OF＝4，

∵A（9，0），

∴OA＝9，

∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，

∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE＝BF＝6，

∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，

∴点B的坐标为（0，﹣3），

故答案为：（0，﹣3）；

（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE＝BF，

∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，

BF＝OB+OF＝OB+3，

∴OA﹣3＝OB+3，

∴OA﹣OB＝6；

（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE＝BF，

∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，

BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，

∴OA﹣3＝3﹣OB，

∴OA+OB＝6．