Question

1．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-bx-$\frac{3}{2}$的图象与x轴交于点A（-1，O）和点8，以AB为边在X轴上方作正方形ABCD，点P是X轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与Y轴交于点E．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）当点P在线段OB（点P不与0、B重合）上运动至何处时，线段0E的长有最大值，并求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PEC是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PEC与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；
（2）设PB=t，OE=l，利用△CBP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；
（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．

解答 解：（1）（-3，4）；
将x=-1，y=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-bx-$\frac{3}{2}$得：b=0，
∴函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
令y=0得：0=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0）
∴AB═1+3=4，
∵ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∴C（3，4）；
（2）设PB=t，OE=l，则OP=3-t，
由∠CBP=∠POE=∠CPE=90°得△CBP∽△POE，
∴$\frac{4}{3-t}=\frac{t}{l}$，∴l=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$，
l=-$\frac{1}{4}（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{16}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，l有最大值$\frac{9}{16}$，
即P为BO中点时，OE的最大值为$\frac{9}{16}$；
（3）存在．

①点P点在y轴右侧时，CE交AB于点G，如图1，
在△PBC和△EOP中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠CBP=∠POE}\\{PC=PE}\\{∠BCP=EPO}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EOP（ASA），
∴OP=BC=4，
P点的坐标为（4，0），
∴PB=OP-BO=4-3=1，由△PBC≌△EOP得OE=PB=1
∵△BCG∽△OEG
∴BG：GO=BC：OE=4：1
∴BG=$\frac{4}{5}$BO=$\frac{12}{5}$，
∴重叠部分的面积=$\frac{1}{2}×4×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$，
②当P点在y轴左侧时，如图2，

由△PBC≌△E0P可推出OP=BC=4，
P点的坐标为（-4，0），
此时重叠部分的面积为$\frac{712}{77}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、二次函数的综合知识、与二次函数的最值结合起来，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想．