[问题背景]如图1.在四边形ABCD中.AB=AD.∠BAD=120°.∠B=∠ADC=90°.EF分别是BC.CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE.EF.FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G.使DG=BE.连结AG.先证明△ABE≌△ADG.再证明△AEF≌△AGF.可得出结论.他的结论应是EF=BE+FD,[探索延伸]如图2.若在四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌
△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+FD；
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【结论应用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【能力提高】
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为$\sqrt{10}$．

分析探索延伸：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案；
结论应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，证明EF=AE+FB，计算EF的长度，得到答案；
能力提高：在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AB，连接CD，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，求出ND的长度，得到答案．

解答解：问题背景：EF=BE+FD．
探索延伸：EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADG}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF，
=∠BAD-$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF．
∴EF=FG．
又∵FG=DG+DF=BE+DF．
∴EF=BE+FD．
结论应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=1.5×（60+80）=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
能力提高：如图4，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，
则△ACD≌△ABM，
∴CD=BM=1
由以上可知，MN=ND，
∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，
∴MN=$\sqrt{10}$．

点评本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．

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