Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1）．
（1）试求k的值并判断点B（

1

3

，-3

3

）是否在此反比例函数的图象上．
（2）已知点O是坐标原点，点P（m，

3

m+6）也在此反比例函数的图象上，（其中m＜0），过点P作x轴的垂线交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是

1

2

，设Q点的纵坐标为n，求n²-2

3

n+9的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）把A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，确定出反比例解析式，将B代入检验即可；
（2）由P在反比例函数图象上，把P坐标代入反比例解析式得到关于m的关系式，由PQ垂直于x轴，设出Q（m，n），根据三角形OQM面积为

1

2

，利用三角形面积公式得到得到mn=-1，得出的关系式变形后，把mn=-1代入求出n²-2

3

n的值，即可确定出所求式子的值．

解答：解：（1）把A（-

3

，1）代入反比例解析式得：1=

k

- 3

，解得k=-

3

，
可得反比例函数的解析式为y=-

3

x

；
当x=

1

3

时，y=-

3

1 3

=-3

3

，
则B在反比例函数图象上；

（2）由y=-

3

x

，得xy=-

3

，
∵点P（m，

3

m+6）在反比例函数y=-

3

x

的图象上，其中m＜0，
∴m（

3

m+6）=-

3

，
∴m²+2

3

m+1=0，
∵PQ⊥x轴，
∴Q点的坐标为（m，n），
∵△OQM的面积是

1

2

，
∴

1

2

OM•QM=

1

2

，
∵m＜0，
∴mn=-1，
∴m²n²+2

3

mn²+n²=0，
∴n²-2

3

n=-1，
∴n²-2

3

n+9=8．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．