Question

（2012•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM=

2

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）由∠C与∠M是

BD

所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得

BC

=

BD

，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=

2

3

，即可求得⊙O的直径．

解答：（1）证明：∵∠C与∠M是

BD

所对的圆周角，
∴∠BCD=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD；

（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠A=∠M，
∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=

BC

AB

，
∵sinM=

2

3

，BC=4，
∴

4

AB

=

2

3

解得，AB=6，
即⊙O的直径为6．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．