Question

已知关于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？求出此时方程的根．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）先根据求根公式求出x的值，再根据两根互为相反数即可求出m的值，把m的值代入原方程求出x的值即可．

解答：解：（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1，
∴△=b²-4ac=（m+2）²-4×1×（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4．
∵无论m为任何实数，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4≥4＞0．
∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵方程的解为x=

-(m+2)± (m-2)2+4

2×1

=

-(m+2)± (m-2)2+4

2

，
∴x₁=

-(m+2)+ (m-2)2+4

2

，x₂=

-(m+2)- (m-2)2+4

2

∵方程两根互为相反数，即x₁+x₂=0．
∴

-(m+2)+ (m-2)2+4

2

+

-(m+2)- (m-2)2+4

2

=0，
∴

-2(m+2)

2

=0．
∴m=-2．即当m=-2时，方程的两根互为相反数．
把m=-2代入方程x²+（m+2）x+2m-1=0，
解得x=±

5

，
当方程的两根互为相反数时，此时方程的根为x₁=

5

，x₂=-

5

．

点评：本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系是解答此题的关键．