Question

16．观察下列各式：
1²+3²-4²=-2×1×3；     ①
2²+4²-6²=-2×2×4；     ②
3²+5²-8²=-2×3×5；     ③
…
（1）按照上面的规律，请你猜想第n个等式是n²+（n+2）²-（2n+2）²=-2n（n+2）；
（2）请你用学过的知识证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）两个数的平方和，减去两个数和的平方，结果是这两个数积的2倍的相反数，由此规律得出第n个等式；
（2）利用整式的乘法计算整理证明即可．

解答 （1）解：∵1²+3²-4²=-2×1×3；    
2²+4²-6²=-2×2×4；    
3²+5²-8²=-2×3×5；    
…
∴第n个等式是n²+（n+2）²-（2n+2）²=-2n（n+2）；
（2）证明：∵左边=n²+n²+4n+4-4n²-8n-4
=-2n²-4n，
右边=-2n²-4n，
左边=右边，
∴n²+（n+2）²-（2n+2）²=-2n（n+2）．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用运算规律解决问题．