Question

如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

B
分析：根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
解答：解：（1）PA平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR=∠PAS，
∴PA平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；
（3）∵AQ=PR，
∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∴∠PQS=∠BAC，
∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠CSP，
∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选B．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．