分析 （1）证明△ABP∽△DPC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AP}{CD}$=$\frac{PB}{PC}$，计算即可；
（2）①过点F作FG⊥AD于点G，证明△APE∽△GFP，得到$\frac{PF}{PE}$=$\frac{GF}{AP}$=2，根据正切的定义解答即可；
②设AE=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，根据梯形的面积公式和三角形的面积公式计算；
③根据线段EF的中点的起始位置和结束位置解答．
解答 解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=$\sqrt{5}$，
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC，
∴$\frac{AP}{CD}$=$\frac{PB}{PC}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{PC}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
（2）①∠PEF的大小不变，
理由：如图，过点F作FG⊥AD于点G，
∴四边形ABFG是矩形，
∴GF=AB=2，
∵∠AEP+∠APE=90°，∠GPF+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠GPF，又∠A=∠PGF=90°，
∴△APE∽△GFP，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{GF}{AP}$=2，
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF$\frac{PF}{PE}$=2，即tan∠PEF的值不变，
∴∠PEF的大小不变；
②设AE=x，则EB=2-x，
在Rt△APE中，PE=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
根据①问结论，PF=2$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∴EF=$\sqrt{5+5{x}^{2}}$，
又∵PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4，
∴BC=AD=5，
∵BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴（$\sqrt{5+5{x}^{2}}$）2-（2-x）2=（$\frac{5}{2}$）2，
整理得16x2+16x-21=0，
解得，x1=$\frac{3}{4}$，x2=-$\frac{7}{4}$（舍去），
则AE=$\frac{3}{4}$，
∴四边形AEFP的面积=梯形ABFP的面积-△EBF的面积=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{5}{2}$）×2-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{31}{16}$；
③线段EF的中点所经过的路线长为$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{5}$．
点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
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