Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AC为直径的⊙0与BC边交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，若DE⊥AB．
求证：AE=3BE．

Answer 1

证明：连接AD，OD，如图所示：
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵DE为圆O的切线，
∴OD⊥DE，又DE⊥AB，
∴AB∥OD，
∴∠ODC=∠B，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA=∠B，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AC为直径，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
在Rt△BDA中，∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∴AB=4BE，
则AE=3BE．
分析：连接AD，OD，如图所示，由半径OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，由DE为圆O的切线，利用切线的性质得到OD⊥DE，再由DE⊥AB，利用垂直于同一条直线的两直线平行得到AB与OD平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC=∠B，由AB=BC，利用等边对等角得到∠BAC=∠BCA，进而得到三角形ABC为等边三角形，得到∠BDE=∠BAD=30°，在直角三角形BDE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到BD=2BE，在直角三角形ABD中，同理得到AB=2BD，进而得到AB=4BE，即可得到AE=3BE，得证．
点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．