Question

已知：如图，抛物线y=x²-x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB=90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在条件（2）下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH•AP=k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0．
设A（x₁，0），B（x₂，0）．
则有x₁•x₂=3m
又OC是Rt△ABC的斜边上的高，
∴△AOC∽△COB
∴
∴，
即x₁•x₂=-m²
∴-m²=3m，解得m=0或m=-3
而m＜0，
故只能取m=-3
这时，y=x²-x-3=-4
故抛物线的顶点坐标为（，-4）．

（2）由已知可得：M（，0），A（-，0），B（3，0），
C（0，-3），D（0，3）
∵抛物线的对称轴是x=，也是⊙M的对称轴，连接CE
∵DE是⊙M的直径，
∴∠DCE=90°，
∴直线x=，垂直平分CE，
∴E点的坐标为（2，-3）
∵，∠AOC=∠DOM=90°，
∴∠ACO=∠MDO=30°，
∴AC∥DE
∵AC⊥CB，
∴CB⊥DE
又∵FG⊥DE，
∴FG∥CB
由B（3，0）、C（0，-3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：
y=-3
可设直线FG的解析式为y=+n，把（2，-3）代入求得n=-5
故直线FG的解析式为y=-5．

（3）存在常数k=12，满足AH•AP=12，
假设存在常数k，满足AH•AP=k
连接CP，
∵AB⊥CD，
∴=
∴∠P=∠ACH（或利用∠P=∠ABC=∠ACO），
又∵∠CAH=∠PAC，
∴△ACH∽△APC，
=，
∴即AC²=AH•AP，
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²=（）²+（3）²=12，
∴AH•AP=k=12；
分析：（1）已知抛物线过C点，因此C点的坐标为（0，m）．OC=-m，在直角三角形ACB中，由于OC⊥AB，根据射影定理可得出OC²=OA•OB，而OA•OB可根据一元二次方程根与系数的关系求出，由此可得出关于m的方程，求出m的值，即可确定抛物线的解析式，根据二次函数的解析式即可得出其顶点坐标．
（2）由于△AOC和△MOD中，∠ACO和∠MDO的正切值相同，因此这两角也相等，可得出AC∥DE，也就能求出DE⊥CB，因此BC∥FG，由此可得出直线FG与直线BC的斜率相同，可先根据B、C的坐标求出直线BC的解析式，然后即可得出直线FG的斜率．那么关键是求出E点的坐标．连接CE，DC⊥CE，C点的纵坐标就是E点的纵坐标，在直角三角形DCE中，可根据DE，DC的长求出CE的长，也就能求出E点的坐标，然后根据E点的坐标即可求出直线FG的解析式．
（3）连接CP、AP，利用垂径定理、三角形相似（△ACH∽△APC）、勾股定理解答即可；
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、一次函数的性质、相交弦定理等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．