Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）求CD的长；
（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm²），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围。

Answer 1

解：（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H， 则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm， ∴CH=BC-BH=14-6=8cm， 在Rt△DCH中， CD=cm；
（2）当点P、Q运动的时间为t（s）， 则PC=t， ① 当Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2·t， 又∵DH=HC，DH⊥BC， ∴∠C=45°， ∴在Rt△QCG中，QG=QC·sin∠C=2t×sin45°=2t， 又∵BP=BC-PC=14-t， ∴S△BPQ=BP×QG=（14-t）×2t=14t-t2， 当Q运动到D点时所需要的时间t==4， ∴S=14t-t2（0＜t≤4）； ② 当Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC， 则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t， ∴S△BPQ=BP×QG=（14-t）×8=56-4t， 当Q运动到A点时所需要的时间t=， ∴S=56-4t（4＜t≤4+）， 综合上述：所求的函数关系式是： S=14t-t2（0＜t≤4）， S=56-4t（4＜t≤4+）；
（3）要使运动过程中出现PQ∥DC，a的取值范围是a≥1+。