Question

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，3），点M从点O出发以每秒2
个单位长度的速度向点A运动，同时点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．过点N作NP垂直于X轴于点 P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒．
（1）一个动点到达终点时，另一个动点的坐标是______；
（2）使线段AQ，QM，MA能围成三角形的t的取值范围是______；
（3）求△AQM的面积S与运动时间t（秒）的函数关系式；
（4）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，
同时点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．
∴当M移动到A处时，NB=2，
∴动点N的坐标是：（1，3）；

（2）∵AC交NP于点Q，
∴线段AQ，QM，MA要围成三角形，
∴t的取值范围是：0＜t＜2；

（3）S_△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．

（4）存在使△AQM为直角三角形的点M．
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°
即点A不可能为Rt△AQM的直角顶点．
①当点Q为直角顶点时．（如图①）
∵∠MQA=90°，∠MAQ=45°∴MQ=QA
∵QP⊥AM，
∴AP=MP=PQ，
即，
∴则M（1，0）．
②当点M为直角顶点时．（如图②）
∵∠QMA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=MA
即4-2t=t+1，
∴t=1，则M（2，0）．
综上所述：点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
分析：（1）根据M，N运动的速度可以得出，当M移动到A处时，NB=2，进而得出N点坐标；
（2）根据线段AQ，QM，MA能围成三角形，进而得出t的取值范围；
（3）由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式；
（4）分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．
点评：此题主要考查了直角梯形的性质以及函数关系式求法等知识点，结合图形的面积，渗透分类讨论的思想，使问题综合性增强．