Question

观察下列等式：
第1个等式：a₁=

3

1×2×22

=

1

1×2

-

1

2×22

；
第2个等式：a₂=

4

2×3×23

=

1

2×22

-

1

3×23

；
第3个等式：a₃=

5

3×4×24

=

1

3×23

-

1

4×24

；
第4个等式：a₄=

6

4×5×25

=

1

4×24

-

1

5×25

．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=

 

=

 

；
（2）式子a₁+a₂+a₃+…+a₂₀=

 

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：规律型

分析：（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；
（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．

解答：解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=

n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

．
（2）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀
=

1

1×2

-

1

2×22

+

1

2×22

-

1

3×23

+

1

3×23

-

1

4×24

+

1

4×24

-

1

5×25

+…+

1

20×220

-

1

21×221

=

1

2

-

1

21×221

．
故答案为：（1）

n+2

n(n+1)•2n+1

，

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

；
（2）

1

2

-

1

21×221

．

点评：此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．