Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在y轴的正半轴上，且OC=2OB．
（1）求线段BC的长度；
（2）如果点D在直线AB上，且以B、C、D、E为顶点的四边形为菱形，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先求得B点坐标，再结合OC=2OB，可求得BC的长度；
（2）分BC为边和对角线，①当BC为边时有两种情况，BD为边或BD为对角线，当BD为边时，则BD=BC，可先求得D点坐标，再根据DE∥BC且DE=BC可求得E点坐标；当BD为对称线时，则四边形为正方形，可求得E点坐标；②当BC为对角线时，则DE为BC的垂直平分线，可先求得D点坐标，利用对称性可求得E点坐标

解答 解：
（1）∵直线y=x-2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，
∴点A（2，0），点B（0，-2），
∴OB=2，
∵OC=2OB，
∴OC=4，点C（0，4），
∴BC的长度是6；
（2）①当BC为边时，有两种情况，BD为边或BD为对称线，
当BD为边时，则有BD=BC=6，
设D点坐标为（x，x-2），则$\sqrt{{x}^{2}+（x-2+2）^{2}}$=6，解得x=3$\sqrt{2}$或x=-3$\sqrt{2}$，
∴D点坐标为（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$-2）或（-3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$-2），
∵DE=BC=6，且DE∥BC，
∴E点坐标为（$3\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$+4）或（$-3\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+4）；
当BD为对角线时，则∠CBD=∠EBD=45°，如图1，

则∠EBC=90°，
∴四边形BCDE为正方形，
∴BE=BC=6，且BE∥x轴，
∴E点坐标为（6，-2）；
②当BC为对角线时，则有DE⊥BC，如图2，

设BC与DE交于点F，则F为BC的中点，
∴F（0，1），
∴D点纵坐标为1，代入直线AB解析式可得1=x-2，解得x=3，
∴D点坐标为（3，1），
又D、E关于BC对称，
∴E点坐标为（-3，1）；
综上可知点E的坐标可以为（$3\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$+4）或（$-3\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+4）或（6，-2）或（-3，1）．

点评 本题主要考查菱形的性质及一次函数与坐标轴的交点，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．