Question

如图，在△ABC中，AB=17，AC=5

2

，∠CAB=45°，点O在BA上移动，以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，切点为D，设⊙O的半径为x，四边形AODC的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）当x为何值时，⊙O与BC、AC都相切？

Answer 1

分析：（1）根据题目条件和切线的性质，建立起半径和BD的关系式，然后根据四边形面积公式和三角形面积公式得出S_{四边形AODC}=S_△ABC-S_△BOD，得出y与x的函数关系式；
（2）结合图形，易得当O在B点时，圆的半径最小，O在C点时，圆的半径最大，求出CF的长即可；
（3）当⊙O与BC、AC都相切时，利用S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，即可求出x的值．

解答：解：（1）如图①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△ACE中，AC=5

2

，∠CAB=45°，
∴AE=CE=AC•sin45°=5

2

×

2

2

=5．
∴BE=AB-AE=17-5=12，CB=

CE2+EB2

=

52+122

=13．（2分）
∴tanB=

CE

EB

=

5

12

．
∵CB切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
又

OD

BD

=

x

BD

=tanB=

5

12

，
∴BD=

12

5

x．（4分）
∵S_{四边形AODC}=S_△ABC-S_△BOD，
∴y=

1

2

AB•CE-

1

2

BD•OD=

1

2

×17×5-

1

2

•

12

5

x•x=-

6

5

x2+

85

2

；（6分）

（2）过点C作CF⊥CB交AB于F．
在Rt△BCF中，CF=BC•tanB=13×

5

12

=

65

12

．
∴x的取值范围是0＜x≤

65

12

．（9分）
说明：答案为0＜x＜

65

12

不扣分；

（3）当⊙O与BC、AC都相切时，
设⊙O与AC的切点为G，连接OG、OC（如图②），则OG=OD=x．
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，
∴

1

2

•5

2

•x+

1

2

•13•x=

1

2

•17•5．
∴x=

85

5 2 +13

=

5

7

(13-5

2

)．（12分）

点评：此题考查了利用图形之间的关系建立函数关系式的能力，解答此类题目的关键是将面积之间的关系作为桥梁，要熟知各种图形的面积公式．