Question

【题目】如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.

(1)求证: ；

(2)判断四边形的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；

（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.

（1）∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：

∵△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四边形DEBF是平行四边形，

又∵EF⊥BD，

∴平行四边形DEBF是菱形.