Question

【题目】如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（ ）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．

③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；

②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正确．

④没有条件证出BO=OE，得出④错误；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．

解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，结论①正确．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，

∴∠ACP=∠BCQ=60°，

在△ACP和△BCQ中，，

∴△ACP≌△BCQ（AAS），

∴CP=CQ，结论③正确；

又∵∠PCQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE，结论②正确．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠AEO，

∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，

∴结论⑤正确．没有条件证出BO=OE，④错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．

故选择：C.